Давайте посмотрим на использование предлогов и артиклей в предложенных примерах и исправим, где это необходимо.
Ich lege meinen Hut auf der Hutablage.
- Предлог "auf" требует использования аккузатива, если действие направлено на изменение местоположения (движение), и датива, если речь идет о положении в пространстве (состояние без движения). Здесь идет речь о положении вещи, следовательно, "der Hutablage" является правильным.
Das Klavier steht neben die Tür.
- "Neben" требует датива, когда речь заходит о расположении. Поэтому правильно будет "neben der Tür."
Monika stellt den Papierkorb unter den Tisch.
- Здесь используется аккузатив, так как есть действие перемещения "unter den Tisch", что правильно.
Sie hängt den Vorhang an das Fenster.
- Предлог "an" с аккузативом используется для указания на направление действия (когда что-то крепится, вешается и т.д.), что в данном контексте верно.
Stell das Regal an die Wand.
- Подобно предыдущему примеру, "an" с аккузативом ("die Wand") указывает на направление действия. Здесь все верно.
Der Schreibtisch steht vor dem Fenster.
- "Vor" с дативом ("dem Fenster") используется для обозначения положения, что корректно.
In der Ecke gibt es Platz für den Fernseher.
- Предлог "in" с дативом ("der Ecke") используется для указания на местонахождение, что правильно.
Auf dem Fußboden liegt ein Teppich.
- "Auf" с дативом ("dem Fußboden") правильно используется для обозначения местоположения.
Das Bild hängt über dem Sofa.
- "Über" с дативом ("dem Sofa") правильно указывает на положение.
Ich sitze in den Sessel und lese ein Buch.
- В данном случае "in" с аккузативом ("den Sessel") указывает на движение в сторону объекта (садиться в кресло). Если рассматривать действие как уже завершенное (сидеть в кресле), то следует использовать датив: "in dem Sessel" или "im Sessel".
Таким образом, ошибки обнаружены в пунктах 2 и 10.